Première · Tronc commun

Mon carnet
de Maths

Droites & Dérivées — tout au même endroit

Comment t'en servir ✏️ Chaque page = une notion. D'abord la règle, puis un exemple complet, et le résultat est toujours dans une bulle verte.
1 L'équation d'une droite
2 Trouver m (le coef directeur)
3 Trouver p (l'ordonnée à l'origine)
4 Un point est-il sur la droite ?
5 Droites parallèles
6 Point d'intersection
7 Les dérivées : c'est quoi ?
8 Le tableau à connaître ❤️
9 Les règles de calcul
10 La tangente
11 Signe de f′ & variations
12 Anti-sèche express

1 · L'équation d'une droite

Une droite, ça s'écrit toujours comme ça :

y = mx + p
x y p ici ! +1 → ↑ m
la pente = m · le point rose = p
À retenir Si tu connais m et p, t'as l'équation complète. Tout le chapitre, c'est juste retrouver ces 2 nombres 😉
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2 · Trouver m

le coefficient directeur

Avec deux points, la pente se calcule comme ça :

m = y2 − y1 x2 − x1

(différence des hauteurs ÷ différence des x)

Exemple : A(2 ; 5) et B(4 ; 9)

m = 9 − 54 − 2 = 42
m = 2
Astuce ordre Commence par le même point en haut et en bas. (B − A partout, ou A − B partout, mais pas mélanger !)
Le signe parle 🚦 m > 0 → ça monte ↗
m < 0 → ça descend ↘
m = 0 → c'est plat —
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3 · Trouver p

l'ordonnée à l'origine — la partie qui te bloquait !

L'idée clé 💡 Un point qui est SUR la droite, ses coordonnées « marchent » dans l'équation. Donc je remplace x et y par un point que je connais… et comme je connais déjà m, il ne reste que p à trouver !

Exemple : m = 2, et la droite passe par A(2 ; 5)

y = m x + p
5 = 2 × 2 + p  ← je mets x = 2 et y = 5
5 = 4 + p
p = 5 − 4  ← je fais passer le 4 de l'autre côté
p = 1

Donc l'équation complète c'est :

y = 2x + 1
Le réflexe ⚙️ « Trouve l'équation de la droite » = 1) je calcule m (page 2) puis 2) je trouve p (cette page). Deux étapes, à chaque fois pareil.
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4 · Un point est-il sur la droite ?

La méthode (3 gestes) :

Droite : y = 2x + 1

C(1 ; 1) appartient-il ?  x = 1
y = 2 × 1 + 1 = 3
3 ≠ 1  →  NON, C n'est pas dessus.
D(3 ; 7) appartient-il ?  x = 3
y = 2 × 3 + 1 = 7
7 = 7  →  OUI, D est sur la droite ✓
Zéro piège ici Tu ne « cherches » rien : tu vérifies juste si le calcul tombe juste. C'est cadeau 🎁
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5 · Droites parallèles

Deux droites sont parallèles quand elles ont le même m (la même pente). Le p, lui, peut être différent.

parallèles ⟺ même m

Exemple

La droite (d) : y = 4x − 1. Une droite (d′) parallèle à (d) qui passe par A(1 ; 7) ?

Parallèle → même pente : m = 4
Donc (d′) : y = 4x + p
Elle passe par A(1 ; 7) :   7 = 4 × 1 + p
7 = 4 + p  →  p = 3
(d′) : y = 4x + 3
Tu reconnais ? 👀 Même m (parallèle) + on retrouve p avec un point = exactement les pages 2 et 3 recyclées !
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6 · Point d'intersection

C'est l'endroit où deux droites se croisent. Là, elles ont le même x et le même y. Donc on écrit :

m x + p = m′ x + p′

Exemple : (d) y = 2x + 3  et  (d′) y = −x + 9

2x + 3 = −x + 9  ← je colle les deux
2x + x = 9 − 3  ← je range les x à gauche
3x = 6  →  x = 2
puis y = 2 × 2 + 3 = 7  ← je remplace dans une des 2
Point d'intersection : (2 ; 7)
(2 ; 7)
le point vert = là où elles se rencontrent
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7 · Les dérivées, c'est quoi ?

C'est la même idée que la pente — mais sur une courbe.

Sur une DROITE la pente est pareille partout → c'est le coef directeur m.
Sur une COURBE la pente change tout le temps → on note f′(x).

f′(a) = la pente de la courbe exactement au point x = a.

le point a la tangente touche ici
la droite verte a pour pente f′(a)

Le « taux de variation » entre 2 points, quand tu rapproches les points jusqu'à 0 → ça devient f′(a). C'est juste la pente quand on zoome 🔍

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8 · Le tableau à connaître ❤️

le seul truc à savoir PAR CŒUR

f(x)f′(x)
un nombre seul (ex : 5)0
x1
x22x
x33x2
xnn xn−1
√x12√x
1x−1x2
Le truc malin 🧠 Pour xn : tu descends le n devant, et tu enlèves 1 à la puissance.
x5 → 5x4.   x2 → 2x1 = 2x. Toujours pareil !
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9 · Les règles de calcul

(f + g)′ = f′ + g′

→ je dérive chaque morceau séparément

(k × f)′ = k × f′

→ le nombre devant ne bouge pas

Exemple complet : f(x) = 3x2 + 2x + 1

terme par terme :
3x2 → 3 × 2x = 6x
2x → 2 × 1 = 2
1 → un nombre seul = 0
f′(x) = 6x + 2
Méthode anti-panique Découpe la fonction en petits bouts, dérive chaque bout avec le tableau (page 8), puis recolle avec des +. Voilà, c'est fait 💪
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10 · La tangente

l'autre partie qui te bloquait — on décortique tout

C'est la droite qui touche la courbe en un point. Son équation :

y = f′(a)(x − a) + f(a)

a = le x où tu veux la tangente

Exemple : f(x) = x2 + 2x, tangente en x = 1

1) le point : f(1) = 12 + 2×1 = 3  →  point (1 ; 3)
2) la pente : f′(x) = 2x + 2, donc f′(1) = 2×1 + 2 = 4
3) je remplace dans la formule :
y = 4(x − 1) + 3

D'où sort le « 4x − 1 » ? Je développe juste :

y = 4(x − 1) + 3
y = 4×x − 4×1 + 3  ← je distribue le 4
y = 4x − 4 + 3
y = 4x − 1
⚠️ Le piège des deux « 1 » Le 1 dans (x − 1) vient de a = 1.
Le −1 tout à la fin vient de (−4 + 3). C'est un pur hasard qu'ils se ressemblent — c'est pas la même chose !
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11 · Signe de f′ & variations

Le signe de f′(x) te dit si la fonction monte ou descend :

f′(x)f(x) fait…
> 0elle monte ↗
< 0elle descend ↘
= 0un maximum ou un minimum
f′ = 0 (max) ↗ f′>0 ↘ f′<0

La méthode (3 temps)

Le déclic 🔑 f′ ne te donne pas la valeur de la courbe — elle te donne sa direction (monte / descend).
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12 · Anti-sèche express

les formules à avoir en tête avant l'épreuve

Droite y = mx + p
Coef directeur m = y2−y1x2−x1
Trouver p Je mets un point connu dans y = mx + p, et je résous.
Parallèles même m
Intersection mx+p = m′x+p′, je résous, puis je calcule y.
Dérivée de xⁿ n xn−1 (descends le n, −1 à la puissance)
Tangente en a y = f′(a)(x−a) + f(a)
Variations f′>0 ↗   f′<0 ↘   f′=0 → extremum

Tu gères. Respire, lis bien l'énoncé, et applique 🍀

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